Ахилле́с и черепа́ха — одна из апорий Зенона. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась впереди на некотором расстоянии от него. Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха отползёт на 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё на 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. Математическое описание Действительно, пусть начальное расстояние есть a и пусть Ахиллес всегда бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пробежит расстояние a, черепаха отползёт на a/k, когда Ахиллес пройдёт это расстояние, черепаха отползёт на a/k², и т. д., то есть всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние. В этой апории, помимо затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и ещё одно. Предположим, что в некоторый момент времени tw Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса
и путь черепахи
Каждому отрезку пути a/kn, пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок a/kn+1, пройденный черепахой. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку a/kn, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но кроме того, Ахиллес должен пробежать ещё один отрезок длины a, то есть он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть α, то получаем 1 + α = α Историческое влияние Это последнее затруднение «часть равна целому» явилось впоследствие предметом размышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этому парадоксу различные интерпретации. Чешский учёный Больцано в первой половине XIX в. установил, что любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своим собственным подмножеством. Теперь это свойство иногда применяется в качестве определения бесконечного множества. Аристотель сформулировал блестящее возражение на эту апорию: "Делимо в мысли, но неделимо в действительности" Современная трактовка Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) высказывают мнение, что суть споров состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи:[1] [Понимание апорий состоит] в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения (актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса. Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.
